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By Robert Schaback, Holger Wendland

Dieses Buch ist der vollständig neubearbeitete Nachfolger des bekannten Textes Schaback/Werner: Numerische Mathematik. Kurzgefasst und in einem Band, informiert er über Numerische Mathematik unter besonderer Berücksichtigung neuester Schwerpunkte: - Grundlagen des Computer-Aided layout - Wavelets - Lineare und nichtlineare Optimierung - Singulärwertzerlegung - Verfahren konjugierter Gradienten mit Vorkonditionierung - GMRES - moderne Darstellung von Splines und Eigenwertproblemen. Der erste Teil des Buches kann auch als Grundlage einer nur einsemestrigen Vorlesung über Numerische oder Praktische Mathematik bzw. Wissenschaftliches Rechnen dienen.

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L(1) P (n−1) P (n−2) · . . · P (1) A =: L−1 P A u ¨ brig bleibt. 12. Zu jeder nichtsingul¨aren Matrix A ∈ Kn×n gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ Rn×n , sodass P A eine LR-Zerlegung P A = LR besitzt. 38 2 Eliminationsverfahren Algorithmus 1: LR-Zerlegung mit Teilpivotisierung Input :A∈ n×n ,b∈ n . for k = 1 to n − 1 do Finde Pivotelement akr f¨ ur Zeile k Vertausche gegebenenfalls Zeilen k und r in A und bk und br . 0/akk for i = k + 1 to n do aik = aik ∗ d for j = k + 1 to n do aij = aij − aik ∗ akj ; Output : P A = LR und P b.

10. Eine bijektive Abbildung p : {1, . . , n} → {1, . . , n} heißt Permutation der Menge {1, . . , n}. Eine Matrix P ∈ Rn×n heißt Permutationsmatrix, falls es eine Permutation p gibt mit P ej = ep(j) , 1 ≤ j ≤ n. 3 Pivotisierung 37 Permutationsmatrizen entstehen also dadurch, dass man in der Einheitsmatrix Spalten (bzw. Zeilen) vertauscht. Insbesondere sind Permuationsmatrizen nat¨ urlich invertierbar. 11. Sei P = Pp ∈ Rn×n eine Permutationsmatrix zur Permutation ur 1 ≤ j ≤ n). p. h. p−1 (p(j)) = j f¨ Dann gilt Pp−1 = Pp−1 .

Dabei sagen wir, dass ein durch das Paar (A, b) beschriebenes Gleichungssystem ¨aquivalent zu einem Gleichungssystem (A, b) ist, wenn beide dieselbe L¨osung besitzen. 4. Es sei A ∈ Kn×n nichtsingul¨ar und b ∈ Kn gegeben. Sei A(1) = A und b(1) = b und dann f¨ ur 1 ≤ k ≤ n − 1 (k) m (k) := 0, . . 2 LR-Zerlegungen 31 L(k) := E − m(k) eTk , (A(k+1) , b(k+1) ) := L(k) (A(k) , b(k) ) (k) sofern akk = 0. Bricht dieser Prozess nicht vorzeitig ab, so liefert er eine Umformung des allgemeinen Gleichungssystems Ax = b in ein ¨aquivalentes, gestaffeltes Gleichungsssystem A(n) x = b(n) mit einer oberen Dreiecksmatrix A(n) .

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