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By Bodo Pareigis

Die computing device Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den laptop erschlossen werden. Die computing device Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der machine Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der laptop Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der laptop Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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4j " 4_ _6 ( _ V 5 2 ' V52> ~ ( _3 2_ vT3' VÜ Die beiden so gefundenen Vektoren C\ und c 2 h sind tatsächlich normiert und zueinander orthogonal, bilden also eine Orthonormal-Basis. Als letztes stellen wir den Vektor v + w = (4, 7) bezüglich dieser neuen Orthonormal-Basis dar als v + w = (v + I Ü , c i ) c i + (v + tü, c ) c 2 = 2 ( ( 4 , 7 ) i ( - V = VTäci + 2 v / l 3 c . 2 A n dieser Rechnung ist schon zu sehen, daß ein Programm für das Orthonormalisierungsverfahren wesentlich effektiver sein wird, als die Durchführung durch Rechnen per H a n d .

Für w = 0 ist die Aussage des Satzes klar. BEWEIS: W i r nehmen also jetzt w ^ 0 an. Zunächst gilt die folgende Ungleichung: 0 < (v — atü,v — aw) = (v,v) — 2a(v,w) + a (w, w). 2 W i r setzen a := (v,w)/(w,w), 0 < (v,v)(w,w) multiplizieren mit (w,w) und erhalten — 2(v,w)(v,w) -f (v,w)(v,w) — (v,v)(w,w) — (v,w)(v,w). Damit ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung schon bewiesen. U m die Aussage über die lineare Abhängigkeit zu beweisen, sei v = ßw. Dann ist (v,w) • (v,w) = ß (w,w) 2 = (v,v) • (w,w), also gilt Gleichheit.

Erhalten. —> Jede affine Abbildung wird dann vollständig durch eine lineare Abbildung / : V Punktes b £ B durch F(a') Paare (/, b) und (f',b') bzw. F\ weil F(a) r'(6, -f a)). (B,W,r')} • W und die Vorgabe eines — / ( r ( a , a')) + b beschrieben. Zwei verschiedene führen auch zu verschiedenen affinen Abbildungen F = b und F'(a) = V', f{v) = T ' ( 6 , F ( T ; + o)) und f'(v) = Weiterhin erhält man jede affine Abbildung ( F , / ) durch 6 : = F ( a ) und F ( a ' ) = / ( r ( a , a ' ) ) + 6. Also gilt Aff(A,B) = Hom(y,W) x B .

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