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By Hermann Boerner

H. W e y 1, The classical teams. Their invariants and representations. Princeton 1939. 2. Aufl. 1946. E. P. W i g er, n Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren. Braunschweig 1931. (Neuausgabe: team idea and its program to the quantum mechanics of atomic spectra. New York/London 1959. ) 1. Vorbemerkung. Die folgenden Ausfuhrungen sind der Darstellungs theorie der endlichen Gruppen gewidmet; doch werden Definitionen und Sat ze, die nicht auf endliche Gruppen beschrl1nkt sind, allgemein formuliert. Das Hauptaugenmerk ist auf die Entwicklung seit dem Bericht von van der Waerden 1935 uber Gruppen von linearen Transformationen 1) gerichtet, dessen II. Teil den Darstellungen von Ringen und Gruppen gewidmet ist. Li teratur vor 1935 wird daher nur in besonderen Fl1llen angefuhrt. Zur neue ren Entwicklung der Darstellungstheorie unendlicher Gruppen siehe paintings. sixteen (Maak). Die Darstellungstheorie der Ringe und insbesondere der Algebren wird nur insoweit berUhrt, als die Gruppenringe methodisches Hilfsmittel der Theorie sind. Sie hat neuerdings in dem Buch von Curtis und Reiner eine moderne und uberaus grundliche Darstellung erfahren. Die physikali schen Anwendungen werden gar nicht berucksichtigt; dagegen sind im Ab schnitt D die wichtigsten Ergebnisse der reinen Gruppentheorie zusammen gestellt, die mit Hilfe der Darstellungstheorie erzielt worden sind. Im Ab schnitt E findet guy einige nah verwandte Theorien und die Verallgemeine rung auf Halbgruppen. In das Verzeichnis der Lehrbucher und Monographien sind die Bucher uber allgemeine Gruppentheorie, die einen Abschnitt Uber Darstellungen enthalten, nicht aufgenommen worden; denn das sind die meisten.

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Cit. 18). G. Garnir, Mem. Soc. Roy. Sci. LiegeColl. in-4° 10, 100S. (1950). 132) W. Specht, Math. Z. 39,696-711 (1935); 42, 774-779 (1937). 30, 15 Darstellungstheorie der endlichen Gruppen Darstellung; dabei sind zwei solche Darstellungen genau dann äquivalent, wenn die Tableaux zum gleichen Diagramm geMren. Der Grad I>.. ] ist gleich der Anzahl der "Standard-Tableaux" (Young), das sind diejenigen, bei denen die eingetragenen Zahlen in jeder Zeile von links nach rechts und in jeder Spalte von oben nach unten zunehmen.

Sei nun X eine Darstellung über K, Xihr Charakter; dann wird der zugeh1}rige Brauercharakter , der nur für p-reguläre Elemente erklärt wird, folgendermaßen ei~eführt. §r Ring der ganzen algebraischen Zahlen aus K, P::l E ein Primideal in R. Bedeutet der Querstrich Restklassenbildung nach P und ist ö primitive rn-te Einheitswurzel über K, so ist Ö primitive rn-te Einheitswurzel über Kund ii/p -= K(6) = K(mJ'f). öa - Öa ist Isomorphismus zwischen den multiplikativen Gruppen der Einheitswurzein. §rt X = Öa1 + ...

J. Math. 4, 504-512 (1952); 6, 509-510 (1954). O. Foufkes, J. London Math. Soc. 24,136-143 (1949); 26,132-139 (1951); Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 24~ 555-591 (1954). M. Ibrahim, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)3,50-55 (1952);Proc. Math. Phys. Soc. Egypt 5 (1954)no. 2,85-86. (2 plates)(1955); Proc. -Amer. Math. Soc. 7,199-202 (1956);Proc. Math. Phys. Soc. Egypt 22(1958), 137-142. (2 inserts) (1959): 178) D. E. L ittl ewo 0 d, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 239, 305-365 (1944); Proc.

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